雇用保険(失業保険)についての質問です。

会社を辞めた後、短期のアルバイトをしたり、就職しても仕事が合わなかったりしてすぐ辞めてしまった場合、どうなるのですか？

雇用保険の受給手続きをしてからのアルバイトはハローワークへの報告へ必要になります、また受給期間が始まればアルバイトにより収入がある場合には支給額の減額や不支給と言うこともあります、但し減額分や不支給分は先送りになります。
就職した場合には、再就職手当と言う制度がありますが、これを使うとそこでそれまでの雇用保険は終了です。
再就職手当を受給せずに受給残日数を残して就職→離職した場合には、基本手当の受給を残日数分に限り再開する事が出来ます。（但し最初の手続きをした時の離職日から１年間）

私は以前にハローワークに職業相談に行った際の話です。私は先日、職業相談に行き、何度か顔を会わせている女性職員と会い、その際に、誰々さんです、と案内された際、
「ああ」みたいな反応をされ、私も苦しい中で真面目に相談してきたので、元気もないのはわかっているはずなのに、「えっ？（聞こえねえよ）」とか言われ、急に顔や耳ををこちらに近づけてきたから、嫌みかと思い、「私は声は大きくないので」と言い返したら、「違う違う、周りにお客さんがたくさんいるから」と言い出し、またか、と思い、帰りました。この人は職業相談に来た人の話を全く聞かずこのような行為をしてきた事は完全に侮辱であり、私はさすがに検察に告訴状を作成し、侮辱として告訴いたしました。ハローワークの職員の態度は、散々書き込みされておりますが、お客さんとか言い出す職員に対して、公務員という自覚が全く感じられず、またやたらと金持ちぶった格好をしており、私は完全に侮辱と受け止め、告訴状を出しました。意味もないのに顔や耳をを近づけてきたり、「周りにお客さんがたくさんいるから」とか無表情で言うこの女性職員に対しては、厚生労働省や地方の労働局にもクレーム文書を入れました。私は以前に福祉事務所の職員に対しても違う容疑で告訴（実際には公務という扱い上、告発とされた）し、捜査してもらって、職員をやめさせた経緯もあります。こんな公務員には公務員をしてもらいたくない。

＞私は以前に福祉事務所の職員に対しても違う容疑で告訴（実際には公務という扱い上、告発とされた）し、捜査してもらって、職員をやめさせた経緯もあります。

辞めさせたんですか？恐ろしいですね。
自分がやったことは自分に必ず返ってきますよ。

ハローワークの求人で「月額換算、月平均労働日数」が書いてないのですが、ここは受けない方が良いでしょうか？
この求人は2ヶ月くらいあります。

ハローワークの求人物件は、一種「鮮度が命」なところがあります。

質問者さんが着目なさった不審点プラス鮮度の古さ、
少なくない先人が妥協すらできなかった証しと考えておくのが無難に違いないです。

※「君子危うきに近寄らず」ですね。。。

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